Math…in Italy: Metodi Matematici

Questa pagina è stata creata per gli studenti che devono affrontare l’esame di Metodi Matematici della Fisica ( vol. 1). Sono appunti personali, presi da diverse fonti così da “ricoprire” tutto il programma di Metodi con semplicità e chiarezza didattica. Buona lettura!

RICHIAMI SUI NUMERI COMPLESSI

Si dice numero complesso una coppia ordinata di numeri reali (x, y). I numeri reali x e y sono detti rispettivamente parte reale e parte immaginaria. Un numero complesso si dice poi reale quando la sua parte immaginaria `e nulla; si dice immaginario quando la sua parte reale `e nulla. Si conviene di rappresentare i numeri complessi reali con la sola parte reale (x, 0) ≡ x e quelli immaginari con la notazione (0, y) ≡ iy, dove il simbolo i `e l’unit`a immaginaria i = (0, 1).

Un numero complesso z = (x,y) `e nullo se e solo se entrambe le parti, reale ed

immaginaria, sono nulle:

z=0

se e solo se:

x=0  e y=0

Si dice complesso coniugato di z il numero z = (x, −y). Due numeri complessi z1 = (x1, y1) e z2 = (x2,y2) si dicono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria:

z1=z2

se e solo se:

x1=x2 e y1=y2

Si definisce la somma algebrica come

z1+z2=(x1+x2,y1+y2) e z1-z2=(x1-x2,y1-y2)

e il prodotto come:

z1z2=(x1x2-y1y2,x1y2+x2y1)

Ne segue che, con la notazione introdotta,

z = (x, y) = x + iy

i^2 =i·i=(0,1)(0,1)=−1.

Considerando z = x + iy come un polinomio in i, la definizione di prodotto coincide con la normale regola di moltiplicazione dei polinomi, purche’ si ponga i^2 = −1.

Il quoziente z1/z2 = z3 risulta definito quando z2 ̸= 0, dalla condizione z3z2 = z1, e si dimostra facilmente che esiste sempre ed `e unico.

L’insieme dei numeri complessi costituisce il campo complesso C.

Dalla teoria dei gruppi si sa che:

L’insieme K, dotato di due operazioni binarie + e *, è un campo se valgono le seguenti proprietà:

(K, +) è un gruppo abeliano con elemento neutro 0:

  • (a + b) + c = a + (b + c)
  • a + b = b + a
  • 0 + a = a + 0 = a
  • ∀a ∃(−a) tale che a + −a = −a + a = 0

(K \{0}, *) è un gruppo abeliano con elemento neutro 1:

  • (a*b)*c = a*(b*c)
  • a*b = b*a
  • 1*a = a*1 = a
  • ∀a≠0 ∃(a−1) tale che a*a−1 = a−1*a = 1

La moltiplicazione è distributiva rispetto alla somma:

  • a*(b + c) = (a*b) + (a*c)

(le relazioni devono valere per ogni a, b e c in K)

Ciascuna delle seguenti definizioni di campo è equivalente a quella data:

  • un anello commutativo in cui ogni elemento non nullo ha un inverso;
  • un corpo commutativo rispetto alla moltiplicazione.

A volte un campo è chiamato corpo commutativo“.

Possono essere estese al campo complesso le normali proprietà delle potenze ad esponente intero. Queste sono definite come in campo reale per induzione:

z^0 = 1

z^1 = z

z^(n+1) = z^n · z

ed estese al caso di esponente negativo definendo

z^(−n) = 1/z^n

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI NUMERI COMPLESSI

Data la corrispondenza biunivoca tra C ed R^2, i numeri complessi possono essere rappresentati graficamente come punti di un piano cartesiano, facendo corrispondere al numero z = (x, y) il punto di coordinate x, y. Per convenzione, la parte reale è riportata sull’asse delle ascisse e la parte immaginaria sull’asse delle ordinate. Il piano di Gauss (detto anche piano di Argand-Gauss) è l’insieme delle coppie di numeri reali (x,y) su cui si introducono due operazioni: una di somma data da (x1,y1) + (x2,y2) = (x1+x2,y1+y2) e una di prodotto data da (x1,y1)•(x2,y2) = (x1x2-y1y2,x1y2+x2y1).  Nel piano di Gauss numeri complessi opposti sono rappresentati da due vettori opposti, mentre due numeri complessi coniugati sono rappresentati da due vettori simmetrici rispetto all’asse reale.

Un numero complesso z può anche essere rappresentato nel piano come un vettore di componenti x, y. In tal caso la somma tra numeri complessi coincide con la somma tra vettori secondo la regola del parallelogramma.

PROIEZIONE STEREOGRAFICA

In geometria per proiezione stereografica si intende la proiezione dei punti sulla superficie di una sfera da un punto N della sfera stessa (che spesso viene chiamato polo Nord della sfera) sopra un piano che è, solitamente, o il piano equatoriale, o il tangente alla sfera nel suo punto (antipodale ad N) chiamato S, polo Sud.

Questa proiezione determina una corrispondenza biunivoca tra i punti della sfera privata di N e i punti del piano. Questa può estendersi ad una corrispondenza biunivoca tra punti della sfera e i punti del piano ampliato con un punto all’infinito: basta far corrispondere a questo il polo Nord.

E` possibile rappresentare geometricamente i numeri complessi come punti della superficie sferica. La corrispondenza può essere estesa anche al punto N, denotando con la dizione punto all’infinito la proiezione stereografica di N. Si dirà piano complesso esteso l’insieme dei punti del piano con l’aggiunta del punto all’infinito. Il piano complesso esteso risulta in corrispondenza biunivoca con i punti dell’intera superficie sferica.

FORMA TRIGONOMETRICA DEI NUMERI COMPLESSI
Si consideri la rappresentazione in coordinate polari dei punti del piano, utilizzando le formule delle funzioni trigonometriche seno e coseno:
x = r \cos \theta
y = r \; \mathrm{sen} \, \theta,

dove ρ e θ sono numeri reali.

Si definisce il modulo del numero complesso z = (x, y) e si indica con |z|

r = \sqrt{x^2 + y^2}  =|z|

L’angolo θ è detto argomento ed è determinato in modo non univoco, a meno di multipli interi di 2π.

Il numero complesso z si rappresenta in forma rettangolare ( ovvero, in coordinate cartesiane) come:

z = x + iy

in cui i è l’unità immaginaria. La forma trigonometrica di z è quindi:

z = rcos θ + irsin θ = r(cos θ + i sin θ)

Due numeri complessi z1 e z2 sono uguali se e solo se hanno lo stesso modulo e lo stesso argomento a meno di multipli interi di 2π:

z1=z2

se e solo se:

r1 =r2

θ1=θ2+2kπ .

Il complesso coniugato di un numero complesso z ha lo stesso modulo ma argomento opposto:

z = r(cos θ + i sin θ) = r [cos(−θ) + i sin(−θ)]

Inoltre, un numero complesso può essere scritto, per quanto stabilito dalla formula di Eulero, come:

z = re^{i\theta}

in cui e è il numero di Nepero.

LA FORMULA DI EULERO

La rappresentazione della funzione eix nel piano complesso è un cerchio unitario, ed x è l’angolo tra un segmento che collega l’origine a un punto del cerchio unitario e l’asse reale positivo, misurato in senso antiorario e in radianti.

La formula di Eulero permette anche di interpretare le funzioni seno e coseno come semplici varianti della funzione esponenziale:

\begin{align} \cos x &= {e^{ix} + e^{-ix} \over 2} \\<br /><br /><br />
\mathrm{sen}\,x &= {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i} \end{align}

Le due equazioni possono essere trovate sommando o sottraendo le seguenti formule di Eulero:

\begin{align} e^{ix} &= \cos x + i \,\mathrm{sen}\,x \\<br /><br /><br />
e^{-ix} &= \cos (-x) + i \,\mathrm{sen}\,(-x) \ = \cos x - i \,\mathrm{sen}\,x \end{align}

dove x è la fase, risolvendo poi le equazioni ottenute sia per il seno sia per il coseno.

Queste formule possono anche essere usate come definizione delle funzioni trigonometriche per argomenti complessi x, e per mettere in relazione le funzioni iperboliche con le usuali funzioni trigonometriche.

La quantità e^(iθ) ha le proprietà di un esponenziale:

e^(i*0) =cos0+isin0=1

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e^(iθ1) ·e^(±iθ2) =(cosθ1 +isinθ1)(cosθ2 ±isinθ2)=

=cos(θ1 ±θ2)+isin(θ1 ±θ2)=e^{i(θ1±θ2)}

Inoltre:

e^(−iθ) =cosθ−isinθ= (cos^2θ+sin^2θ )/(cos θ + i sin θ) = 1/e^(iθ).

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Segue dunque la regola per il prodotto e il quoziente tra due numeri complessi z1 = r1e^(iθ1)

e z2 = r2e^(iθ2):
z1 · z2 = r1r2e^(iθ1)*e^(iθ2) = (r1r2)e^{i(θ1+θ2)} = r1r2 [cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

E per il quoziente:

z1/z2 = (r1/r2)[e^(iθ1)*e^(−iθ2)] = (r1/r2)e^{i(θ1−θ2)} =

=(r1/r2) [cos(θ1 − θ2) + i sin(θ1 − θ2)]

La quantità e^(iθ) si comporta come un esponenziale anche rispetto all’operazione di elevazione a potenza.

(re^{i\theta})^n=r^ne^{in\theta}

Ciò è senz’altro vero per n = 0 ed n = 1. Può essere dimostrato per induzione negli altri casi, assumendo che sia vero per n, dimostriamo che `e vero per n + 1.

Consideriamo dunque il caso n = k + 1 ( la variabile utilizzata, per comodità di scrittura, è x, precedentemente avevamo considerato come variabile θ):

(\cos x+i\sin x)^{k+1}
= (\cos x+i\sin x)(\cos x+i\sin x)^{k}
= \left[\cos(kx)+i\sin(kx)\right](\cos x+i\sin x) (per l’ipotesi induttiva)
= \cos(kx)\cos x - \sin(kx)\sin x + i\left[\cos(kx)\sin x + \sin(kx)\cos x\right]
= \cos\left[(k+1)x\right] + i\sin\left[(k+1)x\right] 
(per le formule di addizione di seno e coseno:

  • \mathbb \mathrm{sen} (\alpha + \beta)=\mathrm{sen} \, \alpha \, \cos\beta + \cos\alpha \, \mathrm{sen} \, \beta
  • \mathbb \cos(\alpha + \beta)=\cos\alpha \, \cos\beta - \mathrm{sen} \, \alpha \, \mathrm{sen} \, \beta   )

L’ultima identità dice che la formula, se vale per n = k allora è valida per n = k + 1 e per il Principio di induzione matematica si conclude che la formula vale per tutti gli n interi positivi.

Da ciò segue la formula di De Moivre:

Essa permette di esprimere la potenza di un numero complesso nella sua forma trigonometrica.

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