Math…in Italy!

Hi guys! This is a new page for my “Italian friends“, who hate Maths. I’m gonna write open lecture notes, because Math is important in our lives. This page is intended for educational purposes of students taking mathematical classes of average difficulty.

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ANALISI MATEMATICA I

Prefazione

Le pagine seguenti sono rivolte a studenti dei vari Corsi di Laurea, nonché ad appassionati di materie scientifiche e/o a semplici curiosi. Questo “volumetto” si propone di esporre gli elementi essenziali dell’Analisi Matematica, presupponendo nel lettore solo un minimo di cognizioni matematiche precedenti: su per giù quel che viene insegnato nei “nostri” primi anni di scuola media superiore. Esso è stato scritto avendo lo scopo di fornire le basi necessarie per coloro i quali si trovano a dover seguire il corso di Analisi 1; inoltre, può servire anche a cui si propone altri scopi e, in particolare, quello d’impadronirsi di questi importanti capitoli dell’Analisi, in vista della sua applicazione a problemi concreti. Riguardo alla trattazione della materia, il lettore già esperto potrà  intravedere gli scopi specifici del volumetto: per esempio, la relativa abbondanza dell’illustrazione grafica; le eventuali note; etc..

Buona lettura, o meglio…Buono studio!

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CAPITOLO 1

I numeri reali

Supponiamo di avere una buona conoscenza dei seguenti insiemi numerici:

N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, . . ,+∞} ( numeri naturali)

Z={-∞, . . . -2, -1, 0, 1, 2, . . +∞}    (numeri interi relativi)

Q={\frac{m}{n}, m \in Z, n \in N } ( numeri razionali)

I numeri razionali, tuttavia, non sono sufficienti per descrivere ciò che ci circonda.

La scoperta dei numeri irrazionali ha origini nei frammenti di calcolo di estrazione della radice quadrata rinvenuti in Mesopotamia. I Babilonesi, infatti, risolvevano il calcolo della radice quadrata con l’ algoritmo di Newton. La prova che il calcolo si possa attribuire ai Babilonesi è nella tavoletta di Yale n. 7289, dove viene determinato il valore di √2.La scoperta degli irrazionali per qualcuno è attribuita ad Ippaso e risale al confronto fra la diagonale e il lato del quadrato; per altri è dovuta al rapporto fra il lato e la diagonale del pentagono regolare e quindi è indicata dalla √5. La scoperta degli irrazionali ha portato a una crisi nelle dottrine pitagoriche, basate sulla centralità del numero, per cui  “Tutto è numero” .

La diagonale di un quadrato di lato 1 e il lato stesso sono incommensurabili, in quanto non si possono esprimere con la stessa unità di misura. Eppure dalla figura non si avverte l’impossibilità di questo confronto.

Nell’opera “Aryabhatiya” scritta nel 499 dal matematico indiano Aryabhata  si fa esplicito uso della numerazione posizionale decimale. Egli infatti scrive :“da una posizione all’altra ciascuna è dieci volte la precedente”.
Ogni numero razionale x \in Q, x \neq 0 si può esprimere sotto forma:

x=+C_0,C_1...C_p... oppure x=-C_0,C_1...C_p...

con C_0 \in N_0, C_i, i \in N un numero intero dell’insieme {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}.

Questa è detta rappresentazione decimale.

  • Definizione: Si denoti con R l’insieme costituito dallo 0 \in Q e da ogni allineamento decimale del tipo:
+C_0,C_1....C_p... o -C_0,C_1,...C_p...
essendo  C_0 \in N_0, C_i, i \in N , con C_0 \neq 0 o, se C_0=0, con almeno $latex C_i, i \in N$, i-esima cifra decimale.
Ogni numero razionale è un numero reale: i numeri reali che non sono razionali sono detti numeri irrazionali.

Proposizione: \sqrt{2}   non è un numero razionale.

Dimostrazione: Supponiamo, per assurdo, che lo sia, cioè che esistano due numeri naturali m, n con \neq 0 tali che \sqrt2=m/n. Si può supporre che m e n siano primi tra loro. Elevando al quadrato, si ottiene 2 = m^2/n^2, o anche:

2n^2 = m^2  (1).

Ciò significa che m^2 deve essere divisibile per 2, ovvero deve essere un numero pari; questo implica che m `e un numero pari. Quindi si può scrivere m = 2q per qualche naturale q. Sostituendo in (1) si ottiene così:

2n^2 = 4q^2n^2 = 2q^2. (2)

La (2) implica che n^2, e di conseguenza n, sia un numero pari. Quindi sia m che n sono numeri pari: questo è assurdo per l’ipotesi fatta ( li avevamo scelti primi tra loro). Ne consegue che \sqrt{2} non può essere razionale.

I numeri reali sono necessari per rappresentare tutti i punti di una retta.

Sulla retta r vi è un ordinamento naturale: se a e b sono due punti di r, scriveremo che a < b se a sta a sinistra di b e, a ≤ b se a<b o se a=b. Dati a e b di r con a<b, indicheremo con [a,b] il segmento dei punti tra a e b estremi inclusi, mentre con il simbolo ]a, b[ indicheremo lo stesso segmento privato degli estremi. Il segmento contenente uno soltanto dei due estremi verrà indicato, rispettivamente, con [a, b[ se contiene a, con ]a, b] se contiene b. I sottoinsiemi della retta del tipo [a,b], ]a,b[, [a,b[, ]a,b] verranno anche detti intervalli.

Consideriamo ora un punto x > 0 di r. Chiaramente vi sarà un intero C_0 >= 0 tale che:

C_0 <= x < C_0 + 1. Dividiamo ora l’intervallo [C_0, C_0 + 1[ in dieci parti eguali:

[C_0, C_0 + 1/10[, [C_0+1/10, C_0 + 2/10[, …, [C_0+9/10, C_0 + 1[

x dovrà appartenere ad uno di questi sottointervalli. Supponiamo che

C_0+(C_1)/10 <=x<C_0+(C_1+1)/10

per qualche C_1 = 0,...,9.

Dividendo a sua volta l’intervallino [C_0 + C_1/10, C_0 + (C_1+1)/10[

in dieci parti,  individuando quello in cui sta x:

C_0+C_1/10 + C_2/100 <=x<C_0+C_1/10 +(C_2+1)/100 per qualche C_2 = 0, . . . , 9. Procedendo in questo modo, si determina una sequenza infinita di numeri naturali C_0, C_1, C_2, . . . con C_0 qualunque e tutti gli altri compresi tra 0 e 9 che risultano legati al punto x nel modo seguente:

C_0+C_1/10 + C_2/100 +...+ C_n/(10^n)<=x< C_0+C_1/10 + C_2/100 +...+(C_n+1)/10^n

Introduciamo la notazione compatta
x_n = C_0 + C_1/10 + C_2/100+...+ C_n/(10^n) = \sum {C_i}/{10^i} .

Allora, la diseguaglianza vista precedentemente, assume la forma:

x_n <= x < x_n +1/(10^n)

Si noti che x_n e x_n + 1/(10^n) sono entrambi numeri razionali che distano tra loro 1/10^n. x_n approssima per difetto x a meno di 1/10^n mentre x_n + 1/10^n approssima per eccesso a meno di 1/10^n. All’aumentare di n essi “si avvicinano” al punto x. x è rappresentato dalla sequenza infinita, detta allineamento decimale,

C_0,C_1C_2C_3...C_n...

Questa è la rappresentazione decimale di x.

Esempio: Si consideri l’allineamento decimale 0,(9) ( leggi “zero virgola nove periodico”).

Il punto x ad esso associato deve stare in tutti gli intervalli del tipo:

[0,1], [9/10, 1], [9/10 + 9/100, 1] , …

E’ chiaro che l’unico punto con tali proprietà è proprio 1. Tuttavia, la rappresentazione decimale di 1 non è data da 0, (9), bensì da 1 = 1, (0).

Questo mostra come vi siano più allineamenti decimali rispetto ai punti della retta. Infatti, 1=1,(0) e 0,(9) rappresentano lo stesso punto della retta, 1 per l’appunto. Ciò accade solo e soltanto per gli allineamenti decimali terminanti con un numero infinito di 0 o di 9.

  • Definizione: Siano x,y \in R. Diremo che x e y sono uguali ( x=y), quando:

– se uno dei due è lo zero, anche l’altro lo è;

oppure

– nel caso in cui uno ( o entrambi) siano diversi da zero, quando essi hanno lo stesso segno, la stessa parte intera e cifre decimali ordinatamente uguali.

  • PROPRIETA’: L’uguaglianza fra numeri realie gode delle proprietà:

riflessiva: x=x per ogni x \in R

simmetrica: x=y ->y=x, x,y \in R

transitiva: x=y , y=z -> x=z, x,y,z \in R

  • Definizione: Chiameremo positivi i numeri reali preceduti dal segno + e negativi i numeri reali aventi segno -. Denoteremo con R^{+} l’insieme dei numeri reali positivi e con R^{-} quello dei numeri reali negativi. Inoltre, denoteremo con R^{+}_{0} (risp.R^{-}_{0})  l’insieme dei numeri reali non negativi (risp.non positivi), cioè:

R^{+}_{0} =R^{+}U{0}  ( risp R^{-}_{0}= R^{-}U{0})

N.B.  Lo zero 0 non è positivo né negativo!

Se x=+C_0,C_1....C_p..., scriveremo semplicemente x; altrimenti, se x=-C_0,C_1,...C_p..., scriveremo -x per denotare tale scrittura.

  • Definizione: Sia x \in R^{+}; diremo che x è maggiore di 0 (x>0) o che 0 è minore di x ( 0<x). Sia x \in R^{-}; diremo che x è minore di 0 (x<0) o che 0 è maggiore di x (0>x). Siano x \in R^{+}y \in R^{-}; diremo che x è maggiore di y (x>y) o che y è minore di x (y<x). Siano ora $latex x=+C_0,C_1….C_p…$, y=+D_0,D_1....D_p... \in R^{+}; diremo che x è maggiore di y (x>y) o che y è minore di x (y<x), se C_0>D_0 oppure se C_0=D_0 ed esiste i \in N tale che C_i>D_i, mentre C_j=D_j per ogni j \in N_{0}, j<i. Siano  $latex x=-C_0,C_1….C_p…$, y=-D_0,D_1....D_p... \in R^{-}. Diremo che x è maggiore di y (x>y) o che y è minore di x ( y<x), rispettivamente se -y>-x. Infine, diremo che x è maggiore o uguale ad y (x>=y), o che y è minore o uguale a x, se accade che x=y oppure che x>y ( o che y<x).

Le operazioni elementari:

  • Definizione: Siano A, B due insiemi arbitrari e non vuoti e sia f una legge che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B; la terna (f,A,B) viene detta funzione; l’insieme A è detto dominio, mentre l’insieme B codominio.

Il tutto può essere semplicemente e convenzionalmente espresso nel seguente modo:

f: A->B

Detto x il generico elemento di A, il suo corrispondente in B si denota con f(x), simbolo che si legge ” f di x“.

Le successioni

  • Definizione: Sia B un insieme arbitrario non vuoto. Chiameremo successione in B ogni funzione

 f: N->B

ovvero avente come dominio l’insieme dei numeri naturali.

Si suole indicare il corrispondente f(n) dell’elemento n \in N con un simbolo del tipo x_n: quest’ultimo è detto elemento della successione.

Una successione si indica con {{a_n}} o {{a_n}}_{n \in N} o anche  {{a_n}}_{n >= {n_0}} (con n_0 \in N).

a_n è l’elemento n-esimo della successione {{a_n}}.

ESEMPIO: 

a_n= \frac {n}{n+1}, n \in N

a_0 = \frac {0}{0+1}=0

a_1= \frac{1}{1+1}=1/2

a_2= \frac{2}{2+1}=2/3

a_{10 }= \frac{10}{10+1}=10/11

  • Definizione: Diciamo che una proprietà P è verificata da (a_n), se essa vale per ogni n;verificata definitivamente da (a_n) se esiste k ∈ N tale che la proprietà P vale per ogni n ≥ k. ( viene omessa dimostrazione)
  • Definizione: Data una successione (a_n) di numeri reali non negativi, con:
a_n= A^{n}_{0},A^{n}_{1}...A^{n}_{k}... per ogni n \in N
si dice che essa è stabilizzata se, per ogni k \in N fissato, la successione di interi (A^{n}_{k}) è definitivamente costante.
  • Definizione: Dato un numero reale non negativo
x= C_0,C_1...Cn...
si chiama troncatura a livello n, n \in N, il numero reale:
x^{(n)}= C_0,C_1...Cn
con n \in N.
  • Definizione: Dato un numero reale x, si chiama valore assoluto di x, e si denota con |x|, il numero:

abs

Tra le proprietà del valore assoluto, si ricordano le seguenti fondamentali:

  • |x+y|<=|x|+|y| ( disuguaglianza triangolare ) ;
  • ||x|-|y||<=|x-y| ( seconda disuguaglianza triangolare )

per ogni x,y \in R.

Vediamo insieme alcuni esercizi sulle equazioni e disequazioni con il valore assoluto.

x x2 x3 x4

2 comments

  1. salve complimenti per la chiarezza degli argomenti esposti… ma lei parla di volume… è reperibile anche il resto per quanto riguarda analisi 1?

    1. Buona sera, Salvo! La ringrazio per i complimenti. Il volume di cui parlo al momento non è disponibile online, ma presto saranno pubblicati gli argomenti affrontati nei vari programmi di analisi 1 ( e 2).

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